Алгебра: вирази, рівняння й нерівності · Крок 37 із 52
Квадратні рівняння
Як дискримінант допомагає визначити кількість дійсних коренів і знайти їх.
Передумови: Лінійні рівняння; Многочлени.
Редакцію включено до публічної бета-версії. Це не фахове педагогічне приймання. Версія вправ: 2026-10-26.5. Програмні перевірки не замінюють оцінювання навчальної методики.
Повідомити про помилку
Що таке квадратне рівняння
Квадратне рівняння можна записати як ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Числа a, b, c — коефіцієнти, а x — невідоме. Знак перед числом належить коефіцієнту. Якщо перед x² немає числа, a = 1.
Для x² − 5x + 6 = 0 маємо a = 1, b = −5, c = 6.
Дискримінант і кількість коренів
Обчисли дискримінант D. Якщо D > 0, є два різні дійсні корені; якщо D = 0 — один дійсний корінь (подвійний); якщо D < 0 — дійсних коренів немає. Тут розглядаємо рівняння над дійсними числами.
| Дискримінант | Кількість різних дійсних коренів |
|---|---|
| D > 0 | Два |
| D = 0 | Один |
| D < 0 | Жодного |
Для x² − 5x + 6 = 0: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1. Додатний D означає два різні корені.
Приклад по кроках
Випиши коефіцієнти, обчисли дискримінант, підстав його у формулу коренів і перевір обидва значення в початковому рівнянні. Для від’ємного b використовуй дужки під час піднесення до квадрата.
- a = 1, b = −5, c = 6.
- D = 25 − 24 = 1.
- Знаходимо x₁ = 2 і x₂ = 3.
- Підставляємо кожен корінь у початкове рівняння.
Перевірка: 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Так само 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0.
Типові помилки
Якщо b = −5, тоді −b = 5, а b² = (−5)² = 25. У формулі коренів на 2a ділиться весь чисельник. Від’ємний дискримінант є коректним результатом і означає відсутність дійсних коренів.
Для x² + 2x + 5 = 0: D = 4 − 20 = −16, тому над дійсними числами коренів немає.
Типова помилка
Нульовий коефіцієнт при x² означає, що рівняння вже не квадратне. Не втрачайте знак b або c під час перенесення.
x² − 4x + 4 = 0 D = 0, тому є один дійсний корінь x = 2 (подвійний).
Самоперевірка й межі
Поясни, чому кожний перехід дозволений саме за умов цього уроку. Перевір відповідь підстановкою у вихідну умову або іншим способом, а не лише повторенням тих самих дій.
x² + 2x + 5 = 0 D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16. Дійсних коренів немає.
Розібрана задача на застосування
Випиши a, b, c зі знаками. Обчисли D, знайди обидва корені та обери менший.
Рівняння 2x²−7x+3=0. Знайди менший корінь. Розв’язання: D=49−24=25; x=(7±5)/4; корені 1/2 і 3.
Як розпізнати й виправити помилку
x² не може бути −4; комплексні корені тут не розглядаємо.
Для x²+4=0 над дійсними числами… коренів немає. x² не може бути −4; комплексні корені тут не розглядаємо.